关于完全多部图的平方距离矩阵

设 $G = K_{n_1,n_2,\cdots,n_t}$ 为具有 $n=\sum_{i=1}^t n_i$ 个顶点的完全 $t$-部图。图 $G$ 中顶点 $i$ 与 $j$ 之间的距离记为 $d_{ij}$，定义为 $i$ 与 $j$ 之间最短路径的长度。图 $G$ 的平方距离矩阵 $\Delta(G)$ 是一个 $n\times n$ 矩阵，其 $(i,j)$ 处元素在 $i = j$ 时为 $0$，在 $i \neq j$ 时为 $d_{ij}^2$。我们定义图 $G$ 的平方距离能 $E_{\Delta}(G)$ 为其特征值绝对值之和。我们确定了 $\Delta(G)$ 的惯性，并计算了平方距离能 $E_{\Delta}(G)$。更精确地，我们证明若对 $1\leq i \leq t$ 有 $n_i \geq 2$，则 $E_{\Delta}(G)=8(n-t)$；若 $h= |\{i : n_i=1\}|\geq 1$，则 $$8(n-t)+2(h-1) \leq E_{\Delta}(G) < 8(n-t)+2h.$$ 此外，我们表明对于固定的 $n$ 和 $t$，在 $n$ 个顶点上的完全 $t$-部图中，平方距离矩阵的谱半径与平方距离能均在完全分裂图 $S_{n,t}$ 处取最大值，在 Turán 图 $T_{n,t}$ 处取最小值。