图的平方能量的线性下界

设 $G$ 是一个 $n$ 阶图，其特征值为 $\lambda_1 \geq \cdots \geq\lambda_n$。令 $$s^+(G)=\sum_{\lambda_i>0} \lambda_i^2, \qquad s^-(G)=\sum_{\lambda_i<0} \lambda_i^2。$$ 较小的值 $s(G)=\min\{s^+(G), s^-(G)\}$ 称为 $G$ 的*平方能量*。2016 年，Elphick、Farber、Goldberg 和 Wocjan 猜想：对于每个 $n$ 阶连通图 $G$，有 $s(G)\geq n-1$。目前尚不知道 $s(G)$ 关于 $n$ 的线性界。设 $H_1, \ldots, H_k$ 是 $G$ 的不交顶点诱导子图。在本文中，我们证明 $$s^+(G)\geq\sum_{i=1}^{k} s^+(H_i) \quad \text{ 且 } \quad s^-(G)\geq\sum_{i=1}^{k} s^-(H_i)，$$ 这意味着对于每个 $n\ge 4$ 阶连通图 $G$，有 $s(G)\geq \frac{3n}{4}$。