$p$-能量图的路径最小性

设 $G$ 为一个拥有 $n$ 个顶点的简单连通图，记 $\lambda_1(G),\lambda_2(G),\ldots,\lambda_n(G)$ 为其邻接矩阵 $A(G)$ 的特征值。对于 $p>0$，定义 $G$ 的 $p$ 能量为 $\mathcal E_p(G)=\sum_{i=1}^n |\lambda_i(G)|^p$。我们证明，对每一个 $p\ge 2$ 的实数以及每一个拥有 $n$ 个顶点的简单连通图 $G$，都有 $$\mathcal E_p(G)\ge \mathcal E_p(P_n),$$ 其中 $P_n$ 表示 $n$ 个顶点的路径图。此外，对于每个固定的 $p>2$，等号仅当 $G\cong P_n$ 时成立。结合已知的星形图最小性结果，这完成了 Nikiforov 先生提出的两个问题的解答。该证明结合了两种不同的比较原理。对于 $2<p<4$，我们采用二分图化简、分数次幂的 Mellin 表示以及关于匹配生成多项式和树移位的行列式比较。对于 $p\ge4$，我们证明了关于二分图奇异值平方的二阶止损比较。该比较通过秩一特征移位估计、删除最小反例以及有限认证的稀疏太阳配置分析得出。作为应用，我们获得了若干情形下正 $p$ 能量的尖锐路径最小性结果，以及拉普拉斯矩阵和无符号拉普拉斯矩阵幂和相关指标的路径最小性结果。