图的顶点划分与 $p$-能量

对于秩为 $n$ 的厄米矩阵 $A$，其特征值为 $\lambda_1(A)\ge \cdots\ge \lambda_n(A)$。定义 $$\mathcal{E}_p^+(A)=\sum_{\lambda_i > 0} \lambda_i^p(A), \quad \mathcal{E}_p^-(A)=\sum_{\lambda_i<0} |\lambda_i(A)|^p,$$ 为 $A$ 的正 $p$ 能量和负 $p$ 能量。本文首先表明，若 $A=[A_{ij}]_{i,j=1}^k$，其中 $A_{ii}$ 为方阵，则 $$\mathcal{E}_p^+(A)\geq \sum_{i=1}^{k} \mathcal{E}_p^+(A_{ii}), \quad \mathcal{E}_p^-(A)\geq \sum_{i=1}^{k} \mathcal{E}_p^-(A_{ii}),$$ 对任意实数 $p\geq 1$ 成立。随后我们将前不等式应用于图的邻接矩阵的 $p$ 能量，以建立下界。