图的平方能量的极值

设 $G$ 是一个拥有 $n$ 个非孤立顶点和 $m$ 条边的图。图的正/负平方能量，记为 $s^+(G)$ / $s^-(G)$，定义为邻接矩阵 $A_G$ 的正/负特征值之平方和。本文提供了若干新工具用于研究平方能量，包括半正定优化、图操作和剩余值。使用这些工具，我们证明了以下关于 $s^{\pm}(G)$ 在给定顶点数和边数下的极值结果：1. 我们有 $\min(s^+(G), s^-(G)) \geq n - \gamma \geq \frac{n}{2}$，其中 $\gamma$ 为 $G$ 的支配数。这验证了 Elphick、Farber、Goldberg 和 Wocjan 的猜想（常数因子内），并证明了 Elphick 和 Linz 引入的较弱版本的猜想。2. 我们有 $s^+(G) \geq m^{6/7 - o(1)}$ 和 $s^-(G) = \Omega(m^{1/2})$，其中两个指数都是最优的。