图的秩、色数与能量之间的若干关系

图 $G$ 的能量记为 $E(G)$，定义为 $G$ 的所有特征值绝对值之和。设 $G$ 为 $n$ 阶图，${\rm rank}(G)$ 为 $G$ 的邻接矩阵的秩。本文刻画了所有满足 $E(G)={\rm rank}(G)$ 的图。除其他结果外，我们证明了除了少数几类图之外，$E(G)\geq 2\max(\chi(G), n-\chi(\bar{G}))$，其中 $n$ 是 $G$ 的顶点数，$\bar{G}$ 和 $\chi(G)$ 分别是 $G$ 的补图和色数。此外，还给出了用 ${\rm rank}(G)$ 表示的 $E(G)$ 的一些新的下界。