图的正负 3 能量

对于一个具有 n 个顶点的简单图 G，记其邻接矩阵为 $A_G$，其特征值为 $lambda_1(G) \geq lambda_2(G) \geq \dots \geq lambda_n(G)$。对于整数 $p \geq 2$，图 G 的正 $p$ 能量和负 $p$ 能量分别记为 $\mathcal{E}^+_p(G)$ 和 $\mathcal{E}^-_p(G)$，定义为：$\mathcal{E}^+_p(G) = \sum_{\lambda_i(G) > 0} |\lambda_i(G)|^p$ 和 $\mathcal{E}^-_p(G) = \sum_{\lambda_i(G) < 0} |\lambda_i(G)|^p$。Tang、Liu 和 Wang 提出了一个猜想：对于任意整数 $p \geq 2$，每个连通的 n 顶点图 G 都满足 $\mathcal{E}^+_p(G) \geq \mathcal{E}^+_p(P_n)$。Akbari、Kumar、Mohar 和 Pragada 提出另一个猜想：对于任意 $p \geq 2$，每个连通的 n 顶点图 G 都满足 $\mathcal{E}^-_p(G) \geq \mathcal{E}^-_p(K_n)$，他们为 $p \geq 4$ 证明了该猜想。在本文中，我们证明除了 $K_1$、$K_2$ 和 $P_3$ 外，每个连通的 n 顶点图 G 都满足 $\mathcal{E}^+_3(G) \geq \frac{\sqrt{5}}{2}n$。此外，我们证明对于任意整数 $p \geq 3$，每个连通的 n 顶点图 G 都满足 $\mathcal{E}^-_p(G) \geq \mathcal{E}^-_p(K_n)$，这改进了已知的结果。