关于 Seidel 矩阵的特征值与 Haemers 猜想

对于图 $G$，设 $S(G)$ 为 $G$ 的 Seidel 矩阵，$\te_1(G),...,\te_n(G)$ 为 $S(G)$ 的特征值。$G$ 的 Seidel 能量定义为 $|\te_1(G)|+...+|\te_n(G)|$。Willem Haemers 猜想，任何具有 $n$ 个顶点的图的 Seidel 能量至少为 $2n-2$，即具有 $n$ 个顶点的完全图的 Seidel 能量。受此猜想启发，我们证明了对于任意满足 $0<\al<2$ 的 $\al$，当且仅当 $|{\rm det} S(G)|\g n-1$ 时，有 $|\te_1(G)|^\al+...+|\te_n(G)|^\al\g (n-1)^\al+n-1$。特别是，这意味着对于所有满足 $|{\rm det} S(G)|\g n-1$ 的图 $G$，Haemers 猜想成立。