自环图的线图与 Nordhaus-Gaddum 型界

设 $G_S$ 为在 $n$ 阶简单图 $G$ 的 $S \subseteq V(G)$ 中每个顶点处附加一个自环后得到的图。本文探讨了与 $G_S$ 的线图 $L(G_S)$ 相关的几个新结果。特别地，我们证明了 $L(G_S)$ 的每个特征值至少为 $-2$，并将图 $G$ 的线图 $L(G)$ 的特征多项式与自环图 $\widehat{G}$ 的线图 $L(\widehat{G})$ 的特征多项式联系起来，其中 $\widehat{G}$ 是在 $G$ 的每个顶点处附加一个自环后得到的图。然后，我们给出了 $G_S$ 的特征值和能量的一些新界。作为推论之一，我们得到连通正则完全多部图的能量不大于相应自环图的能量。最后，我们利用第一 Zagreb 指数 $M_1(G)$ 和最小度 $\delta(G)$ 建立了谱半径的下界，并分别证明了 $G_S$ 的谱半径和能量的两个 Nordhaus-Gaddum 型界。