有限域及模素数的椭圆曲线上的乘法与线性相关性

对于正整数 $K$ 与 $L$，我们引入并研究了有限素域 $\mathbb{F}_p$ 的代数闭包 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上 $K$-乘法相关性的概念，以及模素数约化下椭圆曲线上点的 $L$-线性相关性。我们的一个主要结果表明，给定非零有理函数 $\varphi_1,\ldots,\varphi_m, \varrho_1,\ldots,\varrho_n\in\mathbb{Q}(X)$ 以及定义在整数 $\mathbb{Z}$ 上的椭圆曲线 $E$，对于任意足够大的素数 $p$，除有限多个 $\alpha\in\overline{\mathbb{F}}_p$ 外，以下两种情况至多其一发生：$\varphi_1(\alpha),\ldots,\varphi_m(\alpha)$ 是 $K$-乘法相关的，或点 $(\varrho_1(\alpha),\cdot), \ldots,(\varrho_n(\alpha),\cdot)$ 在 $E$ 模 $p$ 的约化上是 $L$-线性相关的。作为我们的主要工具之一，我们证明了关于分裂半阿贝尔簇 $\mathbb{G}_{\mathrm{m}}^m \times E^n$ 中不可约曲线与余维数至少为 $2$ 的代数子群之交的一个一般性命题。作为我们结果的应用，我们改进了 M. C. Chang 的一个结果，并在某些特殊情形下推广了 J. F. Voloch 关于有限域中大阶元素的结果。