模 m 零多项式

本文研究所谓的“模 m 零多项式”，即对任意整数 x 均满足 f(x)=0 (mod m) 的整系数多项式。对零多项式的研究有助于化简模 m 的高次同余式，并枚举模 m 的等价多项式函数，即由整系数多项式在 Z_m={0, ..., m-1} 上生成的函数。最著名的零多项式是模素数 p 的 f(x)=x^p-x。在指出模合数的零多项式可通过分别处理模各素数的素幂零多项式来研究之后，本文主要关注模 p^d (d>=1) 的零多项式。对任意 d>=1，给出了模 p^d 次数最小的首一零多项式，由此可进一步枚举模 p^d 的所有零多项式。本文得到的最有用的结果是第 4.4 节的定理 32 及其推论——第 4.5 节的定理 34。第 4.3 节的结果构成了第 4.4 节归纳证明的基础。不过，如果你不关心第 4.4 节的证明是如何建立的，可以直接跳过第 4.3 节。定理 28 和定理 31 对定理 32 的证明非常重要，应给予更多关注。注：完成本草稿后，我们注意到本文中的一些结果已被 Kempner 的论文 [3,4] 所覆盖。由于我们采用不同的方式得到结果，本工作可视为一个独立且不同的证明。关于 Kempner 证明的简要介绍，见本文附录。