关于Artin-Hasse级数模素数的某些系数

设$p$为奇素数，令$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}X^{n}\in\mathbb{F}_p[[X]]$为Artin-Hasse指数的模$p$约化。对偶数$k<p^2-1$，我们得到了$a_{kp}$用那些$r<k$的$a_{rp}$表示的多项式表达式。一个覆盖奇数$k<p$情形的猜想类比可以多种多项式形式表述，本质上基于多项式$\gamma(X) =\sum_{n=1}^{p-2}(B_{n}/n)X^{p-n}$，其中$B_n$表示第$n$个伯努利数。我们证明$\gamma(X)$在$\mathbb{F}_p[X]$中满足函数方程$\gamma(X-1)-\gamma(X)=\pounds_1(X)+X^{p-1}-w_p-1$，其中$\pounds_1(X)$与$w_p$分别为截断对数与威尔逊商。这是Zagier对幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}(B_{n}/n)X^n$在$\mathbb{Q}[[X]]$中建立的函数方程模$p$的类比。我们对函数方程的证明建立了与Nielsen 1915年一个结果的联系，并给出了该结果的一个新证明。我们的多项式框架使我们能推导出涉及除伯努利数的某些数值和的同余式。