关于 $\sum_{k=1}^\infty p^{-1/p^k}$ 的 $p$- 进超越性

设 $p$ 为素数。本文证明了 $p$- 进 Hahn 级数 $\sum_{k=1}^\infty p^{-1/p^k}$（即特征为 $p$ 的 Abhyankar 解 $\sum_{k=1}^\infty t^{-1/p^k}$ 在 \mathbf{F}_p\left\!\left(t\right\!\right) 上方程 $X^p-X-t^{-1}=0$ 的混合特征类比）是 $p$- 进复数，但非 $p$- 进代数数。基于此结果，我们提出关于代数 $p$- 进 Hahn 级数支撑集序类型的猜想，并证明它隐含了 Kedlaya 的一个tentative观察。