关于$p$-进级数的求和

考虑了 $p$-adic 函数项级数 $\sum \varepsilon^n \, n! \, P_k^\varepsilon (n; x)\, x^n$ 的求和，其中 $P_k^\varepsilon (n; x)$ 是 $x$ 和 $n$ 的具有有理系数的多项式，$\varepsilon = \pm 1$。该级数在所有素数 $p$ 的域 $|x|_p \leq 1$ 中收敛。找到了当 $x \in \mathbb{Z}$ 时给出有理和的多项式 $P_k^\varepsilon (n; x)$ 的一般形式。一类生成多项式 $A_k^\varepsilon (n; x)$ 在求和过程中起核心作用。这些生成多项式与许多整数序列相关。这是一篇带有一些新结果的简要综述。