关于具有多项式指标的 Eisenstein 级数的同余式

在本文中，基于 Serre 的 $p$-进 Eisenstein 级数族，我们证明了一类关于 Eisenstein 级数 $G_k$ 的广义同余族，其形式为 $$\sum_{i=1}^n g_i(p)G_{f_i(p)}\equiv g_0(p)\mod p^N,$$ 其中 $f_1(t),\ldots,f_n(t)\in\mathbb{Z}[t]$ 是具有正首项系数的非常数整系数多项式，$g_0(t),\ldots,g_n(t)\in\mathbb{Q}(t)$ 为有理函数。这推广了经典的 von Staudt-Clausen 与 Kummer 的 Eisenstein 级数同余式，并给出了一些新的同余式。