欧拉阶乘级数、哈代积分与连分数

我们研究 $p$ 进欧拉级数 $E_p(t) = \sum_{k=0}^{\infty}k!t^k$ 在点 $p^a$ 处，其中 $a \in \mathbb{Z}_{\ge 1}$，并使用帕德逼近证明表达式 $cE_p\left(\pm p^a\right)-d$ 的 $p$ 进绝对值的下界，其中 $c, d \in \mathbb{Z}$。有趣的是，在 $p$ 进侧收敛到 $E_p(t)$ 的同一帕德多项式，在阿基米德侧逼近哈代积分 $\mathcal{H}(t) = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-s}}{1-ts}ds$。在推导 $|cE_p\left(\pm p^a\right)-d|_p$ 下界所需的分子帕德多项式的阿基米德界时，我们利用解析延拓的技巧使用了这一联系。此外，我们通过连分数给出了 $E(t)$ 与 $\mathcal{H}(t)$ 之间的相互关联。