一组整数模素数阶的相等性

对于 $\mathbb{Q}^{\times}$ 的有限生成子群 $W_1, \ldots , W_t$、整数 $k_1, \ldots , k_t$、$\mathbb{Q}$ 的伽罗瓦扩张 $F$ 以及共轭类的并 $C \subset \text{Gal}(F/\mathbb{Q})$，我们发展了判定是否存在无穷多个素数 $p$ 使得 $W_i$ 模 $p$ 的约化的指数整除 $k_i$ 且 $p$ 在 $F$ 上的阿廷符号包含于 $C$ 的方法。这些结果是对 H.W. Lenstra 工作的多变量推广。作为一个应用，我们确定了所有满足对无穷多个素数 $p$ 有 $\text{ord}_p(a_1) = \ldots = \text{ord}_p(a_n)$ 的整数 $a_1, \ldots , a_n$。我们还讨论了满足 $\text{ord}_p(a_1) > \ldots > \text{ord}_p(a_n)$ 的那些 $p$ 的集合。所得结果以黎曼假设的一个推广为条件。