二元 Artin 猜想及递推序列素因子的一个下界
数论
2017-11-20 v1
摘要
1927年,Artin 猜想除 -1 或完全平方整数外的任意整数对无穷多个 生成乘法群 。在 \cite{MoSt} 中,Moree 与 Stevenhagen 考虑了该问题的二元版本,并通过改编 Hooley 对原猜想的证明(\cite{Ho})在广义黎曼假设下证明了正密度结果。本文中,我们证明了该二元问题的无条件下界。特别地,我们给出了整除非退化二元递推序列前 项中至少一项的不同素数个数的估计。我们还证明了同一定理的一个较弱版本,并给出三个我们认为具有独立意义的证明。第一个证明使用了 Stewart \cite{Stew} 的一个超越性结果,第二个使用了 Bombieri 与 Schmidt 关于 Thue 方程的定理 \cite{BoSc},第三个使用了 Mumford 按高度计数曲线上点的间隙原理 \cite{Mum}。最后我们证明了一个析取定理,其中考虑满足我们二元条件或 Artin 猜想原条件的素数集合。我们给出了此类素数个数的无条件下界。
引用
@article{arxiv.1711.06410,
title = {A lower bound for the two-variable Artin conjecture and prime divisors of recurrence sequences},
author = {M. Ram Murty and François Séguin and Cameron L. Stewart},
journal= {arXiv preprint arXiv:1711.06410},
year = {2017}
}