模 p 阿廷-泰特猜想与广义赫布兰德-里贝定理

遵循这样一种自然的直觉：当一个群作用于一个数域时，类数公式中的每一项都应根据该群的表示论（包括复表示和模表示）'相容地'分解，我们被引向一些关于任意 $\Q$ 的 CM 伽罗瓦扩张的类群的 $p$-部分作为 $\Gal(K/Q)$ 模的自然问题，这秉承了关于 $Q(\zeta_p)$ 的类数的 $p$-分量的赫布兰德-里贝定理的精神。在试图表述这些问题时，我们自然地被引向考虑 $L(0,\rho)$，其中 $\rho$ 是一个阿廷表示，在已知其非零且为代数数的情况下，理解它对于代数整数环 $\bar{Z}$ 在 $C$ 中的一个素理想 $\p$ 是否为 $p$-整的，对我们至关重要，我们称之为{\it 模-$p$ 阿廷-泰特猜想}。类数公式中最次要的项——单位根的数量——对我们起着重要作用——它是分母中唯一的项，负责所有的极点！