$\mathbb R^n$ 上的尖锐反向 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式

这是我们就某些Hardy-Littlewood-Sobolev型不等式撰写的系列论文的第一篇。在本文中，主要目标是在全空间$\mathbb R^n$上建立如下尖锐反向HLS不等式 $$\int_{\mathbb R^n} \int_{\mathbb R^n} f(x) |x-y|^\lambda g(y) dx dy \geqslant \mathscr C_{n,p,r} \|f\|_{L^p (\mathbb R^n)}\, \|g\|_{L^r (\mathbb R^n)}$$ 对任意非负函数$f\in L^p(\mathbb R^n)$、$g\in L^r(\mathbb R^n)$以及$p,r\in (0,1)$、$\lambda > 0$且满足$1/p + 1/r -\lambda /n =2$成立。我们还将探讨$\mathscr C_{n,p,r}$的一些估计以及上述不等式最优函数的存在性，这将阐明文献中的一些已有结果。