紧CR流形上的锐Hardy-Littlewood-Sobolev不等式

设$M$为无边界的CR紧流形且CR Yamabe不变量$\mathcal{Y}(M)$为正。此处我们致力于研究如下一类锐Hardy-Littlewood-Sobolev不等式 \begin{equation*} \Bigl| \int_M\int_M [G_\xi^\theta(\eta)]^{\frac{Q-\alpha}{Q-2}} f(\xi) g(\eta) dV_\theta(\xi) dV_\theta(\eta) \Bigr| \leq \mathcal{Y}_\alpha(M) \|f\|_{L^{\frac{2Q}{Q+\alpha}}(M)} \|g\|_{L^{\frac{2Q}{Q+\alpha}}(M)}, \end{equation*} 其中$G_\xi^\theta(\eta)$为CR共形Laplacian $\mathcal{L_\theta}=b_n\Delta_b+R$的Green函数，$\mathcal{Y}_\alpha(M)$为锐常数，$\Delta_b$为Sublaplacian，$R$为Tanaka-Webster数量曲率。对对角情形$f=g$，我们证明$\mathcal{Y}_\alpha(M)\geq \mathcal{Y}_\alpha(\mathbb{S}^{2n+1})$（$\mathbb{C}^{n+1}$中的单位复球面）且若$\mathcal{Y}_\alpha(M)> \mathcal{Y}_\alpha(\mathbb{S}^{2n+1})$则$\mathcal{Y}_\alpha(M)$可达到。特别地，若$\alpha=2$，前述极值问题与CR Yamabe问题密切相关。因此，我们可通过积分方程研究CR Yamabe问题。