Hardy-Littlewood 与 Ulyanov 不等式

我们给出如下问题的完整解：对 $0<p<q\le \infty$ 获得光滑模 $\omega_\alpha(f,t)_q$ 与 $\omega_\beta(f,t)_p$ 之间的尖锐不等式。对于广义 $K$-泛函及其在偶对 $(L_p, W_p^\psi)$ 与 $(L_q, W_q^\varphi)$ 之间的实现的相关类似问题亦获解决。主要工具是新的 Hardy-Littlewood-Nikol'skii 不等式。更确切地说，我们获得了量 $$\sup_{T_n} \frac{\Vert \mathcal{D}(\psi)(T_n)\Vert_q}{\Vert \mathcal{D}(\varphi)(T_n)\Vert_p},\qquad 0<p<q\le \infty,$$ 的渐近行为，其中上确界取遍所有次数至多为 $n$ 的非平凡三角多项式 $T_n$，且 $\mathcal{D}(\psi), \mathcal{D}(\varphi)$ 为 Weyl 型微分算子。我们还证明了 Hardy 空间中的 Ulyanov 与 Kolyada 型不等式。最后，我们应用所获估计导出 Lipschitz 与 Besov 空间的新嵌入定理。