关于带 Jacobi 权光滑模的若干性质

我们讨论最近引入的带 Jacobi 权光滑模的一些性质，其定义为 $$\omega_{k,r}^\varphi(f^{(r)},t)_{\alpha,\beta,p} :=\sup_{0\leq h\leq t} \left\| {\mathcal{W}}_{kh}^{r/2+\alpha,r/2+\beta}(\cdot) \Delta_{h\varphi(\cdot)}^k (f^{(r)},\cdot)\right\|_p$$ 其中 $\varphi(x) = \sqrt{1-x^2}$，$\Delta_h^k(f,x)$ 是 $f$ 在 $[-1,1]$ 上的第 $k$ 阶对称差，$${\mathcal{W}}_\delta^{\xi,\zeta} (x):= (1-x-\delta\varphi(x)/2)^\xi (1+x-\delta\varphi(x)/2)^\zeta ,$$ 且当 $0<p<\infty$ 时 $\alpha,\beta > -1/p$，当 $p=\infty$ 时 $\alpha,\beta \geq 0$。我们证明了，除其他外，对所有 $m, n\in N$，$0<p\le \infty$，次数 $<n$ 的多项式 $P_n$ 和足够小的 $t$，\begin{align*} \omega_{m,0}^\varphi(P_n, t)_{\alpha,\beta,p} & \sim t \omega_{m-1,1}^\varphi(P_n', t)_{\alpha,\beta,p} \sim \dots \sim t^{m-1}\omega_{1,m-1}^\varphi(P_n^{(m-1)}, t)_{\alpha,\beta,p} & \sim t^m \left\| w_{\alpha,\beta} \varphi^{m} P_n^{(m)}\right\|_{p} , \end{align*} 其中 $w_{\alpha,\beta}(x) = (1-x)^\alpha (1+x)^\beta$ 是通常的 Jacobi 权。秉承 Yingkang Hu 的工作精神，我们将其应用于刻画函数在 Jacobi 加权 $L_p$ 空间 $0<p\le\infty$ 中最佳逼近多项式的性质。最后我们讨论了 $1<p<\infty$ 情形下的尖锐 Marchaud 型和 Jackson 型不等式。