关于与theta级数同余的模形式的模p零点

对于大于$7$的素数$p$，权为$p-1$的 Eisenstein 级数具有一些显著的模$p$同余性质。例如，这些性质意味着其零点的$j$-不变量（已知为区间$[0,1728]$内的实代数数）在含$p$个元素的域上至多是二次的，并且模$p$同余于某个截断超几何级数的零点。在本文中，我们为全模群引入权$k \geq 4$的“theta模形式”，即其前 dim$(M_k)$ 个 Fourier 系数与某些 theta 级数相同的模形式。我们考虑 Jacobi theta 级数和六角格 theta 级数对应的这些 theta 模形式。我们证明，Jacobi theta 级数对应的 theta 模形式的零点的$j$-不变量模$p$全在含$p$个元素的基域中。对于六角格的 theta 模形式，我们证明其零点在含$p$个元素的基域上至多是二次的。此外，我们证明这两种情形下的这些零点都同余于某些截断超几何函数的零点。