$k$-单调函数的加权光滑模及其应用

设 $\omega_\varphi^k(f,\delta)_{w,L_q}$ 为带权 $w$ 的 Ditzian-Totik 模，$M^k$ 为 $(-1,1)$ 上 $k$-单调函数锥，即其 $k$ 阶差商对任意 $(-1,1)$ 中 $k+1$ 个不同点非负的函数。记 $E (X, \Pi_n)_{w,q} := \sup_{f\in X} \inf_{P\in\Pi_n}\|w(f-P)\|_{L_q}$，其中 $\Pi_n$ 为次数不超过 $n$ 的代数多项式集合。另外，设 $w_{\alpha,\beta}(x) := (1+x)^\alpha (1-x)^\beta$ 为经典 Jacobi 权，$S_p^{\alpha,\beta}$ 为满足 $\| w_{\alpha,\beta}f\|_{L_p}=1$ 的所有函数构成的类。本文确定了 $\sup_{f\in S_p^{\alpha,\beta}\cap M^k} \omega_\varphi^k(f,\delta)_{w_{\alpha,\beta},L_q}$ 关于 $\delta$ 的精确行为，其中 $1\leq p, q\leq \infty$（有趣情形为 $q<p$），$\alpha,\beta >-1/p$（若 $p<\infty$）或 $\alpha,\beta\geq 0$（若 $p=\infty$）。值得注意的是，在一种情形下，$\alpha=\beta=0$ 与 $(\alpha,\beta)\neq (0,0)$ 的行为不同。给出了若干应用，例如我们确定了 $E (M^k\cap S_p^{\alpha,\beta}, \Pi_n)_{w_{\alpha,\beta},L_q}$ 对于 $\alpha,\beta \geq 0$ 的精确行为。