Jacobi 多项式的代数 $\mathcal{L}_{q}$-范数及类复杂性性质——次数与参数渐近

Jacobi 多项式 $\hat{P}_n^{(\alpha,\beta)}(x)$ 构成了具有双参数权函数 $(1-x)^\alpha (1+x)^\beta, \alpha,\beta>-1,$ 在区间 $[-1,+1]$ 上的典型超几何正交多项式（HOPs）族。其关联概率密度（即 Rakhmanov 密度）在正交性支撑上的散布，除原点矩、方差等离散度量外，已由代数 $\mathfrak{L}_{q}$-范数（Shannon 和 R\'enyi 熵）以及 Cram\'er-Rao、Fisher-Shannon 和 LMC（L\'opez-Ruiz、Mancini 和 Calbet）型的单调类复杂性测度所量化。然而，这些量常以解析上艰深、不便的方式确定；特别是当次数或参数 $(\alpha,\beta)$ 较大时。本文中，我们以简单、紧凑的形式确定了 Jacobi 多项式在两种极端情形下的熵和类复杂性性质：($n\rightarrow \infty$；固定 $\alpha,\beta$) 和 ($\alpha\rightarrow \infty$；固定 $n,\beta$)。这两种渐近本身重要，且因为它们控制众多超对称量子力学系统的高能（Rydberg）和高维（伪经典）态的物理熵和复杂性测度。