分数阶 Hardy-Littlewood 极大算子的端点 Sobolev 估计

设 $0<\alpha<d$ 且 $1\leq p<d/\alpha$。我们给出证明：对所有 $f\in W^{1,p}(\mathbb{R}^d)$，中心与非中心 Hardy-Littlewood 分数阶极大算子 $\mathcal M_\alpha f$ 均弱可微，且 $\|\nabla\mathcal M_\alpha f\|_{p^*} \leq C_{d,\alpha,p} \|\nabla f\|_p ,$ 其中 $p^* = (p^{-1}-\alpha/d)^{-1} 。$ 特别地，它覆盖了 $p=1$ 且 $0<\alpha<1$ 的端点情形，此前该情形的估计未知。对于 $p=1$，我们可将 $W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$ 替换为 $\mathrm{BV}(\mathbb{R}^d)$。所用工具包括分数阶极大函数梯度的逐点估计、层饼公式、Vitali 型论证、从球到二进方体的归约、余面积公式、相对等周不等式，以及二进情形下 $\alpha=0$ 的已有结果。我们利用了当 $\alpha>0$ 时分数阶极大函数不使用某些小球这一事实。当 $\alpha=0$ 时证明失效。