极向分数阶极大函数的 Sobolev 正则性

我们研究非中心分数阶 Hardy-Littlewood 极大算子 $\widetilde{\mathcal{M}}_{\beta}$ 在端点 $p=1$ 作用于极向数据时在球面 $\mathbb{S}^d$ 上的 Sobolev 正则性。我们首先证明：若 $q=\frac{d}{d-\beta}$，$0<\beta<d$ 且 $f$ 是一个极向 $W^{1,1}(\mathbb{S}^d)$ 函数，则有 $$\|\nabla \widetilde{\mathcal{M}}_{\beta}f\|_q\lesssim_{d,\beta}\|\nabla f\|_1.$$ 接着我们证明映射 $$f\mapsto \big | \nabla \widetilde{\mathcal{M}}_{\beta}f \big |$$ 在限制于极向数据时从 $W^{1,1}(\mathbb{S}^d)$ 到 $L^q(\mathbb{S}^d)$ 是连续的。我们的方法使我们能够给出映射 $f\mapsto |\nabla \widetilde{M}_{\beta}f|$ 从 $W^{1,1}_{\text{rad}}(\mathbb{R}^d)$ 到 $L^q(\mathbb{R}^d)$ 连续性的一个新证明。此外，我们证明关于中心分数阶 Hardy-Littlewood 极大算子 $M_{\beta}$ 的一个猜想局部有界性，意味着在 $\mathbb{S}^d$ 上极向函数与 $\mathbb{R}^d$ 上径向函数的背景下，映射 $f\mapsto |\nabla M_{\beta}f|$ 从 $W^{1,1}$ 到 $L^q$ 的连续性。