抛物型Bergman空间和齐次Sobolev空间的Carleson测度问题

设$b_{\alpha}^{p}(\mathbb{R}^{1+n}_{+})$为抛物型方程$\partial_{t}u+(-\triangle)^{\alpha}u=0$ $(\alpha\in(0, 1])$的解空间，其具有有限的$L^{p}(\mathbb{R}^{1+n}_{+})$范数。我们刻画了$\mathbb{R}^{1+n}_{+}$上具有性质$\|u\|_{L^{q}(\mathbb{R}^{1+n}_{+},\mu)}\lesssim \|u\|_{\dot{W}^{1,p}(\mathbb{R}^{1+n}_{+})},$ $1\leq p\leq q<\infty,$ 的非负Radon测度$\mu$，其中$u(t,x)\in b_{\alpha}^{p}(\mathbb{R}^{1+n}_{+})\cap \dot{W}^{1.p}(\mathbb{R}^{1+n}_{+})$。同时，记$v(t,x)$为上述方程以Cauchy数据$v_{0}(x)$的解，我们刻画了$\mathbb{R}_{+}^{1+n}$上满足$\|v(t^{2\alpha},x)\|_{L^{q}(\mathbb{R}_{+}^{1+n}, \mu)}\lesssim\|v_{0}\|_{\dot{W}^{\beta,p}(\mathbb{R}^{n})},$ $\beta\in (0,n),$ $p\in [1, n/\beta],$ $q\in(0, \infty)$的非负Radon测度$\mu$。此外，我们得到了$v(t,x)$的衰减、一个等容不等式和一个迹不等式。