由无限相似映射生成的 Cantor 分布的最优量化

设 $P$ 为 $\mathbb R$ 上由无限相似映射系统 $\{S_j : j\in \mathbb N\}$ 生成的 Borel 概率测度，满足 $P=\sum_{j=1}^\infty \frac 1{2^j} P\circ S_j^{-1}$，其中对每个 $j\in \mathbb N$ 与 $x\in \mathbb R$，$S_j(x)=\frac 1{3^{j}}x+1-\frac 1 {3^{j-1}}$。则 $P$ 的支撑是由相似映射 $f_1, f_2 : \mathbb R \to \mathbb R$ 生成的二进 Cantor 集 $C$，其中对所有 $x\in \mathbb R$，$f_1(x)=\frac 13 x$，$f_2(x)=\frac 13 x+\frac 23$。本文利用与概率向量 $(\frac 12, \frac 1{2^2}, \cdots)$ 关联的无限相似映射系统 $\{S_j : j\in \mathbb N\}$，对所有 $n\in \mathbb N$，我们确定了无限自相似测度 $P$ 的 $n$-均值最优集与第 $n$ 量化误差。本文所获得的技术可用于确定更一般的无限自相似测度的 $n$-均值最优集与第 $n$ 量化误差。