某些具有精确界的三进制均匀 Cantor 分布的最优量化

设 $\{S_j : 1\leq j\leq 3\}$ 为三个压缩相似映射的集合，使得对所有 $x\in \mathbb R$ 与 $1\leq j\leq 3$ 有 $S_j(x)=rx+\frac {j-1}{2}(1-r)$，其中 $0<r<\frac 1 3$。令 $P=\sum_{j=1}^3 \frac 13 P\circ S_j^{-1}$。则 $P$ 是 $\mathbb R$ 上唯一的 Borel 概率测度，其支撑为由相似映射 $S_j$（$1\leq j\leq 3$）生成的 Cantor 集。令 $r_0=0.1622776602$，$r_1=0.2317626315$（为两个实数的十位有理数近似）。本文中，对 $0<r\leq r_0$，我们给出确定所有正整数 $n\geq 2$ 下三进制均匀 Cantor 分布 $P$ 的 $n$-均值最优集与第 $n$ 量化误差的一般公式。此前，Roychowdhury 给出了确定标准三进制 Cantor 分布（即 $r=\frac 15$ 时）的 $n$-均值最优集与第 $n$ 量化误差的精确公式。本文进一步表明 $r=r_0$ 是 Roychowdhury 公式所适用 $r$ 值范围的最大下界，$r=r_1$ 是最小上界。此外，我们证明对 $0<r\leq r_1$，量化系数虽不存在但量化维数存在。