某些均匀 Cantor 分布最优量化精确公式的最小上界

概率论中的量化方案旨在寻找由有限个点支撑的概率分布对给定概率分布的最佳逼近。设 $P$ 为 $\mathbb R$ 上的 Borel 概率测度，满足 $P=\frac 12 P\circ S_1^{-1}+\frac 12 P\circ S_2^{-1}$，其中 $S_1$ 和 $S_2$ 是由 $S_1(x)=rx$ 和 $S_2(x)=rx+1-r$ 给出的两个压缩相似映射，且 $0<r<\frac 12$，$x\in \mathbb R$。则 $P$ 支撑在由 $S_1$ 和 $S_2$ 生成的 Cantor 集上。$r=\frac 13$ 的情况由 Graf 和 Luschgy 处理，他们给出了 Cantor 分布 $P$ 唯一最优量化的精确公式（Math. Nachr., 183 (1997), 113-133）。在本文中，我们计算了 Graf-Luschgy 公式可推广到的 $r$ 值的精确范围。