标准三元 Cantor 分布的量化

概率论中的量化方案致力于用支撑于有限个点上的概率分布来最佳逼近给定概率分布。对给定 $k\geq 2$，令 $\{S_j : 1\leq j\leq k\}$ 为 $k$ 个压缩相似映射的集合，使得对所有 $x\in \mathbb R$ 有 $S_j(x)=\frac 1 {2k-1} x +\frac{2 (j-1)} {2k-1}$，并令 $P= \frac 1 k \sum_{j=1}^kP\circ S_j^{-1}$。则 $P$ 是 $\mathbb R$ 上唯一的 Borel 概率测度，其支撑为由相似映射 $S_j$（$1\leq j\leq k$）生成的 Cantor 集。在本文中，对概率测度 $P$，当 $k=3$ 时，我们研究所有 $n\geq 2$ 的 $n$ 均值最优集与第 $n$ 量化误差。我们进一步表明尽管量化维数存在，量化系数却不存在。