基于Rényi维数的紧支撑概率测度的量化维数

我们通过证明任意紧支撑Borel概率测度 $\nu$ 的 $r>0$ 阶上量化维数 $\bar{D}_{r}(\nu)$ 由其Rényi维数在 $q_{r}$ 点给出，其中 $\nu$ 的 $L^{q}$-谱与过原点斜率为 $r$ 的直线相交，从而给出了上量化维数关于Rényi维数的完整刻画。特别地，这证明了 Lindsay（2001）所猜想的 $r\mapsto\bar{D}_{r}(\nu)$ 的连续性。这一视角也为量化问题与其他分形几何概念的联系提供了新见解：我们得到了上量化维数与限制在 $\left(0,1\right)$ 上的 $L^{q}$-谱之间的一一对应。我们给出了以 $L^{q}$-谱表示的量化维数存在的充分条件。由此作为一个副产品，我们证明了对于 $\mathbb{R}^{d}$ 上关于 $\mathcal{C}^{1}$-自共形迭代函数系统的每个Gibbs测度，无需任何分离条件假设，以及对于在非齐次开集条件下的非齐次自相似测度，量化维数均存在。一些已知的以其他分形维数表示的量化维数一般界可容易地从我们的新方法中导出，有些则可被改进。