凝聚测度的最优量化典范序列

我们考虑形如 $P:=\frac 13 P\circ S_1^{-1}+ \frac 13 P\circ S_2^{-1}+ \frac 13 \nu$ 的凝聚测度，其关联于系统 $(\mathcal{S}, (\frac 13, \frac 13, \frac 13), \nu)$，其中 $\mathcal{S}=\{S_i\}_{i=1}^2$ 为压缩映射，$\nu$ 为 $\mathbb R$ 上具有紧支撑的 Borel 概率测度。设 $D(\mu)$ 表示测度 $\mu$ 的量化维度（若其存在）。本文分别研究了满足 $D(\nu)>\kappa$、$D(\nu)<\kappa$ 和 $D(\nu)=\kappa$ 的自相似测度 $\nu$，其中 $\kappa$ 为满足 $[\frac13 (\frac{1}{5})^2]^{\frac{\kappa}{2+\kappa}}=\frac 12$ 的唯一数。针对每种情况，我们构造了两个序列 $a(n)$ 和 $F(n)$，用于确定 $F(n)$-均值的最优集和 $P$ 的第 $F(n)$ 阶量化误差。我们还证明了，对于每个测度 $\nu$，$P$ 的量化维度 $D(P)$ 存在且满足 $D(P)=\max\{\kappa, D(\nu)\}$。此外，我们证明了当 $D(\nu)>\kappa$ 时，$D(P)$ 维的下限和上限量化系数是有限、正且不相等的；而当 $D(\nu)\leq \kappa$ 时，$D(P)$ 维的下限量化系数为无穷大。