带随机噪声的拔河博弈课程

这是以下著作中第 2 章的预印本：Marta Lewicka，A Course on Tug-of-War Games with Random Noise，2020，Springer，经 Springer Nature Switzerland AG 许可转载。我们给出线性势论与随机游走之间的基本关系。这一由 Ito、Doob、Levy 等人发展的基本联系依赖于如下观察：调和函数与鞅共享一种共同的消去性质，该性质通过均值性质表达。结果表明，经适当修改，类似观察和手法也可应用于非线性情形，而这正是我们课程笔记的主要兴趣所在。因此，本章作为迈向熟悉更复杂非线性构造的垫脚石。在回顾调和函数的等价定义性质后，我们引入球游走。这是一个无限水平离散过程，其中在每一步，初始置于开有界域 $\mathcal{D}\subset\mathbb{R}^N$ 中某点 $x_0$ 的粒子被随机推进到新位置，该位置在以下开球内均匀分布：以当前位置为中心，半径等于参数 $\epsilon$ 与到边界 $\partial\mathcal{D}$ 距离二者的最小值。该过程以概率一在 $\partial\mathcal{D}$ 上累积，然后 $u^\epsilon(x_0)$ 定义为给定边界数据 $F$ 在该过程极限位置处的期望值。每个函数 $u^\epsilon$ 都是调和的，且若 $\partial\mathcal{D}$ 正则，则每个 $u^\epsilon$ 与 $F$ 在 $\mathcal{D}$ 中的唯一调和扩张一致。正则性的一个充分条件是外锥条件。