具正、负强化步长的随机游动的联合不变原理

给定随机游动 $(S_n)$，其典型步长依某固定分布且固定参数 $p \in (0,1)$，相应的正步长强化随机游动是一个离散时间过程，其在每步以概率 $1-p$ 执行与 $(S_n)$ 相同的步长，而以概率 $p$ 重复其先前均匀随机选取的执行过的步长之一。负步长强化随机游动遵循相同动态，但当重复某步长时其符号亦改变。本工作中，我们将证明当 $p<1/2$ 且典型步长零均值时，随机游动与其正、负强化版本三者组合的泛函极限定理。如我们所展示，极限过程为高斯过程并可借随机积分简单表示。我们的方法穷尽了鞅方法结合鞅泛函中心极限定理。