二进制块计数函数在加法下的行为

设 $\mathsf{s}(n)$ 表示整数 $n \geq 0$ 的二进制位数之和。在近年里，人们对差分 $\mathsf{s}(n+t)-\mathsf{s}(n)$ 的行为（其中 $t \geq 0$ 为整数）感兴趣。特别是，Spiegelhofer 和 Wallner 表明，对于二进制展开中包含足够多个 $\mathtt{1}$ 块的 $t$，不等式 $\mathsf{s}(n+t) -\mathsf{s}(n) \geq 0$ 对属于渐近密度 $>1/2$ 的 $n$ 成立，部分回答了Cusick的疑问。此外，对于此类 $t$，值 $\mathsf{s}(n+t) - \mathsf{s}(n)$ 大约服从正态分布。在本文中，我们考虑对块计数函数族 $N^w$ 的自然推广，即给出二进制展开中长度为 $w$ 的二进制块出现次数的函数。我们的主要结果表明，对于任意长度为至少2的 $w$，差分 $N^w(n+t) - N^w(n)$ 的分布接近高斯分布，当 $t$ 在其二进制展开中包含许多 $\mathtt{1}$ 块时。这扩展了作者和Spiegelhofer关于 $w=\mathtt{11}$ 的早期结果。