权重的分布与Wilf的一个问题

设$S$为嵌入维数为$e$、导子为$c$的数值半群。Wilf的问题是，是否有$\#(\mathbb N\setminus S)/c\leq e-1/e$。\noindent 在（An asymptotic result concerning a question of Wilf, arXiv:1111.2779v1 [math.CO], 2011, Lemma 3）中，Zhai针对权重$x\cdot\gamma$（$x\in\mathbb N^d$）关于正权重向量$\gamma$的分布给出了一个类似不等式：\noindent 设$B\subseteq\mathbb N^d$为有限集且是$\mathbb N^d$-理想的补集。记$\operatorname{mean}(B\cdot\gamma)$为$B$的平均权重。则有$$\operatorname{mean}(B\cdot\gamma)/\max(B\cdot\gamma)\leq d/d+1.$$ $\bullet$ 对于此类集合的族$\Delta_n:=\{x\in\mathbb N^d|x\cdot\gamma<n+1\}$，我们能够证明当$n$趋于无穷时，$\operatorname{mean}(\Delta_n\cdot\gamma)/\max(\Delta_n\cdot\gamma)$收敛到$d/d+1$。$\bullet$ 将Zhai的引理3应用于正分次Artinian代数的Hilbert函数，得到了一类满足Wilf不等式的新的数值半群。