关于 Wilf 一个问题的注记

设 $S$ 为一个数值半群，其 Frobenius 数、亏格和嵌入维数分别为 $f$、$g$ 和 $e$。1978 年 Wilf 提出如下问题：是否有 $\frac{f+1-g}{f+1}\geq\frac1e$。众所周知，该式在 $e=2$ 和 $e=3$ 时成立。对于 $e\geq4$，由 Zhai [5] 的结果我们导出如下（显著更弱的）下界：$$\frac{f+1-g}{f+1}>\left(\frac{2N+1}{(2N+2)(e-2)}\right)^e\text{ 其中 }\lfloor N\rfloor=104978\,.$$ 据我们所知，这是关于 $\frac{f+1-g}{f+1}$ 用嵌入维数表示的第一个显式下界。