关于 Wilf 问题的一个渐近结果

设 $\Lambda$ 为一个嵌入维数为 $e(\Lambda)$ 的数值半群。定义 $c(\Lambda)$ 为不在 $\Lambda$ 中的最大整数加一，并定义 $c'(\Lambda)$ 为 $\Lambda$ 中小于 $c(\Lambda)$ 的元素个数。Wilf 曾问不等式 $\frac{c'(\Lambda)}{c(\Lambda)} \ge \frac{1}{e(\Lambda)}$ 是否恒成立。我们证明了该猜想的一个渐近版本：我们证明，对于固定的正整数 $k$ 和任意 $\epsilon > 0$，不等式 $\frac{c'(\Lambda)}{c(\Lambda)} \ge \frac{1}{k} - \epsilon$ 对所有满足 $e(\Lambda) = k$ 的数值半群 $\Lambda$ 成立，至多只有有限个例外。