素数定理的一个变体

设 $\Lambda(n)$ 为冯·曼戈尔特函数，并设 $[t]$ 为实数 $t$ 的整数部分。在本文中，我们证明对任意 $\varepsilon>0$，渐近公式 $$\sum_{n\le x} \Lambda\Big(\Big[\frac{x}{n}\Big]\Big) = x\sum_{d\ge 1} \frac{\Lambda(d)}{d(d+1)} + O_{\varepsilon}\big(x^{9/19+\varepsilon}\big) \qquad (x\to\infty)$$ 成立。这改进了 Bordellès 近期的结果，后者要求以 $\frac{97}{203}$ 代替 $\frac{9}{19}$。