关于Wilf问题的一些变体

设$S\neq\mathbb N$为由$e$个元素生成的数值半群。H.~S.~Wilf在其论文(A Circle-Of-Lights Algorithm for the "Money-Changing Problem", Amer. Math. Monthly 85 (1978), 562--565)中提出了如下问题:令$\Omega$为不包含于$S$的正整数个数,$c-1$为其中最大者。是否被遗漏数的比例$\frac\Omega c$至多为$1-\frac1e$?令$B\subseteq\mathbb N^{e-1}$为一个artinian $\mathbb N^{e-1}$-理想的补集。遵循A.~Zhai的概念(An asymptotic result concerning a question of Wilf, arXiv:1111.2779v1 [math.CO]),我们将Wilf问题关联到关于$B$上相对于正权向量的权重分布的更一般问题。在特殊情形下给出了肯定回答,类似于R.~Fr\"oberg、C.~Gottlieb、R.~H\"aggkvist(On numerical semigroups, Semigroup Forum, Vol.~35, Issue 1, 1986/1987, 63--83)就Wilf问题所考虑的情形。