交换代数与Frobenius线性丢番图问题

设$A$为一组互素的正整数有限集，$S(A)$为$A$中元素的所有非负整数线性组合构成的集合。集合$S(A)$是一个包含所有充分大整数的半群。不在$S(A)$中的最大整数称为$A$的Frobenius数，而不在$S(A)$中的正整数个数称为$A$的亏格。Sharp和Sylvester于1884年证明，集合$A = \{a,b\}$的Frobenius数为$ab-a-b$，亏格为$(a-1)(b-1)/2$。本文利用分次环和Hilbert合冲定理的简单形式，给出了该结果的一个交换代数证明。