某些特殊序列弗罗贝尼乌斯数的组合方法（完整版）

设 $A=(a_1, a_2, ..., a_n)$ 为互素正整数且 $a_i\geq 2$。弗罗贝尼乌斯数 $g(A)$ 是不属于集合 $\big\{ \sum_{i=1}^na_ix_i\ |x_i\in \mathbb{N}\big\}$ 的最大整数。一般弗罗贝尼乌斯问题包括确定 $g(A)$ 以及相关的西尔维斯特数 $n(A)$ 和西尔维斯特和 $s(A)$。我们提出一种解决弗罗贝尼乌斯问题的新方法。基本上，我们将该问题转化为一个更简单的优化问题。如果新问题可以显式求解，那么我们将能够获得 $g(A)$ 的公式。我们通过给出一些已有公式的简洁证明并发现一些关于 $g(A), n(A), s(A)$ 的有趣新公式来阐明这一思想。此外，我们发现 MacMahon 的分割分析适用于通过由 $A$ 确定的多项式的有理函数表示来给出计算 $n(A), s(A)$ 的新方法。