算术级数中 Frobenius 集的 Sylvester 幂次与加权和

设 $a_1,a_2,\dots,a_k$ 为满足 $\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)=1$ 的正整数。Frobenius 数是不能用 $a_1,a_2,\dots,a_k$ 表示的最大正整数。当 $k\ge 3$ 时，一般不存在显式公式，但对于某些特殊序列 $a_1,a_2,\dots,a_k$（包括构成算术级数及其变形的序列）可能存在一些公式。本文给出不可表示正整数的幂次和与加权和的公式。作为应用，我们给出了构成算术级数的 $a_1,a_2,\dots,a_k$ 的这些和的显式表达式。