多变量下 Frobenius 集上的加权 Sylvester 和

设 $a_1,a_2,\dots,a_k$ 为最大公约数 $\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)=1$ 的正整数。令 ${\rm NR}={\rm NR}(a_1,a_2,\dots,a_k)$ 表示不能用 $a_1,a_2,\dots,a_k$ 表示的正整数集合。作为与著名的 Frobenius 问题相关的内容，最大不可表示整数 $\max{\rm NR}$、不可表示正整数个数 $\sum_{n\in{\rm NR}}1$ 以及不可表示正整数之和 $\sum_{n\in{\rm NR}}n$ 已被广泛研究许久。本文利用欧拉数，给出了加权求和 $\sum_{n\in{\rm NR}}\lambda^{n}n^\mu$ 的公式，其中 $\mu$ 为非负整数，$\lambda$ 为复数。我们还考察了不可表示数的幂和以及三变量下的若干公式。若干例子阐明并支持了我们的结果。