满足abc猜想的方程c=a+b的个数

我们证明，对于正整数 $c$ 和任意给定的 $\varepsilon$，$0<\varepsilon<1$，满足不等式 $$c < R(c)^{\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}}R(a)^{\frac{1}{1+\varepsilon}}R(b)^{\frac{1}{1+\varepsilon}}$$ 的方程 $c=a+b$，$a<b$（其中 $a$ 和 $b$ 是互质的正整数）的个数 $N(c)$，当 $c\to\infty$ 时，有 $$N(c)=(1-\varepsilon)\frac{\phi(c)}{2}+O\Bigl(\frac{\phi(c)}{2}\Bigr).$$ 其中 $R(n)$ 是 $n$ 的根基。还将证明abc猜想不等式 $c<R(abc)^{1+\varepsilon}$（不带常数因子）的一个类似结果。