整向量处线性与二次型对的渐近分布

我们研究由二次型 $q$ 和线性型 $\mathbf l$ 组成的一对形式在整向量集上取值的联合分布，这是 Dani-Margulis（1989）开创的问题。本着 Eskin、Margulis 和 Mozes 关于 Oppenheim 猜想定量版本的著名定理的精神，我们证明如果 $n \ge 5$，并且在假设对每个 $(\alpha, \beta ) \in \mathbb R^2 \setminus \{ (0,0) \}$，形式 $\alpha q + \beta \mathbf l^2$ 是无理的，且 $q$ 在 $\mathbf l$ 核上的限制的签号为 $(p, n-1-p)$，其中 $3\le p \le n-2$，则满足 $\|v\| < T$、$a < q(v) < b$ 且 $c< \mathbf l(v) < d$ 的向量 $v \in \mathbb Z^n$ 的个数渐近地为 $$C(q, \mathbf l)(d-c)(b-a)T^{n-3} ,$$ 当 $T \to \infty$ 时，其中 $C(q, \mathbf l)$ 仅依赖于 $q$ 和 $\mathbf l$。在相同假设下该联合值集合的密性由 Gorodnik（2004）给出。