$S$-整点处各向同性二次型值的渐近分布

我们证明了 Eskin-Margulis-Mozes 定理的一个类比：假设给定$\mathbb{Q}$上的一个有限位集$S$，包含阿基米德位但不包含素数 2，$\mathbb{Q}_S$上的一个秩$n\geq 4$的无理各向同性型${{\mathbf q}}$，$p$-进区间的乘积$I_p$，以及星形集的乘积$\Omega$。我们表明，除非$n=4$且${{\mathbf q}}$在至少一个位处分裂，否则满足${{\mathbf q}}( {\mathbf v} ) \in I_p$（对于$p \in S$）的$S$-整向量${\mathbf v} \in {\mathsf{T}} \Omega$的数量，当${\mathsf{T}} \to \infty$时，渐近由$$\lambda({\mathbf q}, \Omega) | I| \cdot \prod_{p\in S_f} T_p^{n-2},$$给出，其中$| I |$是$p$-进区间$I_p$的 Haar 测度的乘积。证明利用了$S$-算术齐性空间上单参数流的动力学；特别是，它依赖于某些轨道平移的等分布结果应用于在无穷远处具有受控增长的测试函数，该增长由 Eskin、Margulis、Mozes 工作中引入的$\alpha$-函数的$S$-算术变体指定，以及 Dani-Margulis 定理的$S$-算术版本。